1. - Objet principal du mémoire

2. - De l'introduction naturelle des potentiels dans d'autres théories que celle des forces obéissant à la loi newtonienne

3. - Leur application au problème de l'équilibre d'un solide élastique, limité par un plan indéfini

4. - Déformations d'un sol élastique sous des charges données et transmission des pressions à son intérieur

5. - Répartition, à la surface de contact, de la pression totale, quand c'est un corps dur qui l'exerce

6. - Application des potentiels à des cas où le solide est sollicité dans sa masse par des forces extérieures

7. - Déformations et pressions dans un corps indéfini, sollicité intérieurement par une force unique ou par deux forces égales et contraires. - Des perturbations locales dans la mécanique des solides

8. - Réflexions sur une différence que présentent, en physique mathématique, les véritables solutions simples, ou les éléments naturels des solutions générales, suivant qu'il s'agit de systèmes matériels indéfinis ou de corps limités

§ Ier. - Equations différentielles de l'équilibre d'un sol élastique, horizontal, homogène et isotrope, dont la surface supporte des pressions données ou éprouve des déplacements connus.

9. - Exposé du problème

10. - Equations indéfinies et conditions spéciales aux surfaces limites

11. - Unité de la solution

§ II. - Intégration de ces équations, par le moyen de certains potentiels logarithmiques se rapportant à des couches minces de matière étalées sur la surface du solide.

12. - Définition et propriétés les plus essentielles des divers potentiels

13. - Recherche d'une première forme d'intégrales

14. - Expression de ces intégrales

15. - Autres intégrales déduites du même type, mais paraissant moins utilisables. - Particularités que présentent le potentiel logarithmique d'une couche plane et ses dérivées, à la surface de cette couche

16. - Seconde et troisième formes d'intégrales

17. - Types d'intégrales définis uniquement par des circonstances relatives aux pressions extérieures, et dont le principal concerne le cas où ces pressions sont exclusivement normales

18. - Formation de l'intégrale générale, soit au moyen de ces trois types, soit au moyen des trois types considérés en premier lieu

§ III. - Valeurs des déplacements, des déformations et des pressions intérieures, quand les potentiels se réduisent à un seul de leurs éléments.

19. - Déplacements élémentaires, dans le cas où il s'agit du premier type simple d'intégrales

20. - Déformations qui s'y trouvent produites

21. - Pressions intérieures mises en jeu par ces déformations

22. - Déplacements élémentaires pour le second et le troisième des types simples d'intégrales

23. - Déformations et pressions intérieures dans le cas du second type

24. - Déplacements que produit une simple pression normale, exercée sur un élément de la surface

25. - Lois de la transmission de cette pression normale à l'intérieur, sur les couches de matière parallèles à la surface: comparaison avec les lois analogues pour les types simples d'intégrales

§ IV. - Calcul des dépressions que produisent, à la surface d'un sol horizontal ou d'un corps élastique plan d'une largeur et d'une profondeur indéfinies, des pressions extérieures normales, réparties diversement - Retour à la théorie générale de l'équilibre d'un tel corps, pour les cas où les pressions exercées sont obliques.

26. - Forme que prend la surface à d'assez grandes distances de la partie directement comprimée

27. - Calcul général de la forme de la surface, quand les pressions sont disposées pareillement tout autour d'un point central

28. - Profondeurs de la dépression aux points éloignés et au centre

29. - Profondeur de la dépression au bord de la région d'application et valeur moyenne de l'abaissement éprouvé par cette région

30. - Egalité des abaissements moyens que deux charges égales, arbitrairement distribuées le long de deux circonférences concentriques, produisent, chacune, aux points où est déposée l'autre

31. - Analogie que présente, sous le rapport de cette loi de réciprocité, un sol indéfini en longueur, largeur et profondeur, avec une plaque circulaire mince, appuyée ou encastrée sur tout son contour

Note sur le potentiel de flexion d'une plaque

32. - Cas d'une distribution uniforme des pressions dans tout l'intérieur d'un cercle, à la surface d'un sol élastique

33 - Remarques concernant, en général, la continuité des phénomènes sur le contour des régions d'application, et les formes que prend la surface

34. - Mode de distribution parabolique de la pression, avec décroissance du centre au bord

35. - Mode de distribution parabolique avec augmentation du centre au bord, et autres modes composés

36. - Mode de répartition pour lequel la surface comprimée reste plane et horizontale

37. - Extension de ce mode à une région comprimée elliptique

38. - Calcul des abaissements produits, dans le cas où la région comprimée est un cercle et reste horizontale

38 bis. - Démonstration, par les mêmes formules, d'une relation due à M. Beltrami, qui permet de déduire les pressions des abaissements de la région comprimée, quand il y a parité tout autour d'un point central

Note sur l'évaluation du potentiel logarithmique d'une couche plane, considéré dans le plan même de cette couche

39. - Autres modes d'application, déduits des précédents au moyen de la transformation par rayons vecteurs réciproques

40. - De certains potentiels qui, dans les étendues infinies, sont inverses de la distance à un point donné ou sont même nuls, et de l'emploi de ces derniers pour exprimer divers cas d'équilibre de corps soumis, sur une partie restreinte de leur surface, à des actions tangentielles

40 bis. - Calcul général de l'équilibre, dans le cas d'actions tangentielles données et dans celui de pressions obliques quelconques: transmission de ces pressions, de la surface à l'intérieur

41. - Défaut de proportionnalité de la pression à l'enfoncement, aux divers points de toute région d'application limitée

42. - Recherche de cas où les pressions extérieures, nulles où moyenne et appliquées à toute la surface, produisent des abaissements qui leur soient partout proportionnels

43. - Valeurs de w et de pz dans ces cas. - Rapidité avec laquelle les effets des pressions s'y évanouissent à quelque distance de la surface

43 bis. - Autre cas où les pressions extérieures, généralement obliques. sont encore nulles en moyenne, mais dans lequel les déplacements à la surface ne diffèrent de zéro qu'à l'intérieur de régions limitées. - Type général d'intégrales qui comprend tous ceux qu'on a considérés plus haut et d'où se déduisent immédiatement des formules remarquables de M. Cerruti

§ V. - Sur la manière dont se distribue, entre les diverses parties de la surface de contact, la pression d'un solide, qui pèse sur un sol horizontal, ou qu'une force connue pousse normalement contre un corps élastique de dimensions beaucoup plus grandes que celles de la zone touchée.

44. - Coup d'oeil général sur le problème consistant à déterminer le mode de distribution des charges d'après la position ainsi que la grandeur de leur résultante et d'après la forme que prend la surface comprimée

45. - Identité de ce problème avec celui de la répartition des poids ou des pressions sur la surface de contact d'un corps dur et d'un corps ou d'un sol élastique. - Condition qui détermine la surface de contact elle-même

46. - Résolution du problème pour certaines formes de la base du corps dur et pour certaines positions de la pression résultante, notamment quand la base est plane, limitée par un contour circulaire ou elliptique, et que la pression normale exercée passe par son centre

47. - Des circonstances qui se présentent sur le contour de la surface comprimée

48. - Réflexions sur l'emploi de la discontinuité en physique mathématique

49. - Mise en équation générale du problème

50. - Cas d'un disque plat et horizontal posé sur un sol élastique: la pression se distribue, à la surface de ce disque, comme le ferait, s'il était isolé et conducteur, une charge électrique qui s'y trouverait en équilibre

51. - Exemple du disque elliptique; calcul des abaissements qu'il produit à la surface du sol

52. - Rapprochement entre le potentiel d'une couche elliptique qui est aussi une couche de niveau et les potentiels soit ordinaire, soit logarithmique à trois variables, relatifs à un seul point.

53. - Propriété remarquable que présente le mode de distribution à la surface d'un disque elliptique

54. - Extension de cette propriété au cas d'un ellipsoïde électrisé: des plans parallèles équidistants le divisent en zones électriques équivalentes

§ VI. - Etude des potentiels, pour les points intérieurs aux masses correspondantes ou potentiantes.

55. - Existence des potentiels, en tant que fonctions finies et continues, à l'intérieur des masses par rapport auxquelles on les prend

Note sur la définition générale des potentiels et sur leur différeniation par rapport aux coordonnées du point potentié

57. - Application à la différentiation du potentiel inverse et du potentiel direct; équation de Poisson, pour le premier, et sa transformée, quand on y introduit le second

59. - Application au potentiel logarithmique à trois variables

60. - Emploi des mêmes méthodes de différentiation pour des intégrales doubles, telles que les potentiels cylindriques

§ VII. - Equilibre d'élasticité d'un solide indéfini, sollicité dans une étendue finie par des forces extérieures quelconques.

61. - Généralisation des trois types d'intégrales trouvés au § II et, d'abord, du premier

62. - Forme encore plus générale d'intégrales des équations de l'équilibre d'élasticité, à laquelle ce premier type généralisé conduit, et qui comprend même le deuxième type non généralisé.

Note sur un type presque évident d'intégrales des équations indéfinies de l'équilibre d'élasticité, qui comprend tous ceux dont il est tiré parti dans cette Etude

63. - Généralisation des deuxième et troisième types

64. - Application du premier type au problème de l'équilibre d'un solide indéfini, sollicité dans une étendue finie par des forces extérieures quelconques et maintenu fixe en ses points très éloignés

65. - Autre manière d'arriver aux mêmes résultats, par l'emploi immédiat de potentiels directs et inverses

66. - Déplacements, déformations et pressions intérieures que fait naître une force, appliquée à un solide en un point très éloigné de sa surface, quand cette surface est maintenue fixe

§ VIII. - Sur les perturbations locales dans la théorie de l'élasticité, et sur la possibilité, pour le géomètre, de remplacer des forces données, s'exerçant sur une petite partie d'un solide, par d'autres forces statiquement équivalentes, appliquées à la même région très petite en tous sens.

67. - Des perturbations locales dans la théorie de l'élasticité

68. - Perturbations causées par deux forces égales et contraires, s'exerçant à l'intérieur d'un milieu solide indéfini

69. - Perturbations qui accompagnent l'action d'un couple, appliqué de même à l'intérieur d'un solide indéfini

70. - Les perturbations doivent décroître et s'évanouir bien plus rapidement, dans les solides allongés ou aplatis

71. - C'est ce que MM. William Thomson et Tait ont directement démontré pour une plaque sollicitée par des couples de torsion s'exerçant sur son cylindre contournant: complément de leur démonstration

72. - Réduction, opérée par M. Kirchhoff, de deux des conditions aux limites que Poisson avait données dans la théorie des plaques, à une seule condition distincte

73. - Réflexion sur la cause probable qui a rendu accessibles les questions traitées dans cette étude

1. - Définition et propriétés du potentiel sphérique

Extension aux cas d'espaces ayant moins de trois dimensions (Note)

2. - Son application au calcul de la valeur moyenne, pour un point donné, de la dérivée d'un ordre quelconque d'une fonction de point, dérivée prise le long des divers éléments rectilignes se croisant en ce point, et au calcul de la valeur moyenne de la puissance de même ordre de la dérivée première de cette fonction

3. - Intégration de l'équation du son des par des potentiels sphériques

4. - Conséquences diverses, quant aux solutions simples naturelles de cette équation et à la persistance, qu'elle implique, des caractères de l'état initial

5. - Application aux mouvements d'un fluide indéfini, qu'on vient à raréfier en certains endroits: les déplacements définitifs qu'il éprouve vers ces endroits sont régis par la loi de l'attraction newtonienne

6. - Extension de la même loi d'appel vers les parties dilatées aux petits mouvements intérieurs des solides élastiques isotropes: intégration des équations de mouvement de ces corps dans le cas où on les suppose indéfinis

§ Ier. - Nouvelle méthode pour intégrer une classe importante d'équations aux dérivées partielles.

1. - Objet de cette note complémentaire

3. - Intégration générale de l'équation aux dérivées partielles proposée

4. - Autres formes d'intégrales, permettant de satisfaire plus directement à certaines conditions d'état initial

5. - Extension de la méthode d'intégration précédente à des équations aux dérivées partielles d'un nombre quelconque de variables indépendantes: propriétés des intégrales définies qui serviront à cet effet

6. - Intégration des équations proposées, pour les cas où la distance r à l'origine joue le rôle de variable principale

7. - De leur intégration, quand c'est le temps t qui est la variable principale

8. - Application de la même forme d'intégrales définies à l'intégration de certaines équations différentielles

§ II. - Applications de cette méthode dans la théorie de la chaleur et dans celle du frottement des fluides.

9. - Problème de l'échauffement d'une barre et autres analogues: équations qui les définissent

Note sur les phénomènes de diffusion et de transpiration

10. - Intégration de ces équations

11. - Conséquences générales qui en résultent

12. - Lois de l'échauffement de la barre par contact

13. - Echauffement d'un corps indéfini à une, deux ou trois dimensions, par l'introduction continue, en un de ses points, de quantités données de chaleur

14. - Refroidissement d'un milieu homogène indéfini, à une, deux ou trois dimensions

§ III. - Applications à l'étude des vibrations transversales et du choc transversal des barres et des plaques élastiques. - Théorie comparée du choc longitudinal d'une barre.

15. - De la propagation du mouvement transversal le long d'une barre homogène droite: équations du problème

16. - Leur intégration

17. - Résultats de cette intégration dans les cas les plus simples

18. - Leur spécification pour des barres diversement sollicitées

19. - Lois de la transmission du mouvement transversal le long de ces barres

20. - Problème de la dissémination du mouvement transversal le long d'une barre indéfinie dans les deux sens, à la suite de déformations et de vitesses initiales données

21. - Difficulté que présente l'emploi d'intégrales analogues pour l'étude des vibrations transversales ou normales d'une plaque élastique plane: calcul des mouvements propagés, dans ce cas d'une plaque, autour d'un centre unique d'ébranlements

22. - Problème de la résistance dynamique des barres et des plaques, notamment de leur résistance au choc, traité par les mêmes procédés: extension d'une loi de Young au cas du choc transversal

23. - Comment il faut modifier ces lois du choc, dans le cas de barres dont la longueur est finie

Du choc normal d'une plaque circulaire, encastrée ou appuyée sur tout son contour, par un corps qui la heurte en son centre (Note)

23 bis. - Sur les deux problèmes d'un choc par compression faisant fléchir la barre heurtée, supposée très légère, et du mouvement rapide d'une charge roulante le long d'une telle barre horizontale, appuyée à ses deux bouts

Résistance, à la flexion, d'un anneau ou d'un manchon cylindrique, soumis sur sa surface extérieure à une pression constante par unité de longueur de son axe (Note)

Extension de la loi de réciprocité démontrée plus haut pour les plaques (p. 128) au cas d'une barre ayant chacune de ses deux extrémités appuyée ou encastrée (Note)

§ IV. - Application à la théorie des ondes liquides par émersion et par impulsion.

24. - Equations aux dérivées partielles qui définissent le problème

25. - Leur intégration, pour le cas des ondes produites, à la surface de l'eau en repos d'un canal, par l'émersion d'un cylindre solide plongé en travers dans ce canal

27. - Lois des ondes par émersion produites les premières

28. - Lois des ondes venant à la suite d'un certain nombre d'autres, ou après que le mouvement s'est, pour ainsi dire, régularisé: ces ondes se comportent comme si elles appartenaient à des houles dont la longueur croîtrait graduellement et dont la hauteur décroîtrait peu à peu suivant des lois plus ou moins complexes

29. - Etude du mouvement des ondes à l'endroit même où a eu lieu l'émersion et dans les régions voisines

30. - Formules fondamentales de la théorie des ondes par émersion, dans le cas général d'un bassin indéfini et d'un corps immergé de forme quelconque

Note sur une dissémination partielle qu'entraîne la propagation, dans un milieu élastique plan, de mouvements régis par l'équation du son

31. - Des ondes par impulsion

ADDITIONS A LA NOTE II. - Addition au N° 5 (p. 375). Démonstration plus simple des propriétés de l'intégrale définie considérée dans ce n° 5

Addition au N° 22 (p. 499). - Extension de la loi de Thomas Young, sur l'effet de début d'un choc longitudinal, au cas où la barre heurtée n'est pas cylindrique, mais en forme de tronc de cône, et autres lois d'un tel choc pour une barre de longueur indéfinie heurtée à son petit bout

1. - Lois d'équilibre

2. - Lois de mouvement. - Théorie de la délimitation latérale des rayons sonores ou lumineux

Sur les intégrales asymptotes des équations différentielles

Note sur les fonctions continues dites sans dérivée et sur leur rem- remplacement par des fonctions pourvues de dérivées

Sur l'intégration, par approximations successives, d'une équation aux dérivees partielles du second ordre, dont dépendent les pressions intérieures d'une masse de sable à l'état ébouleux

ECLAIRCISSEMENTS ET COMPLEMENTS (relatifs surtout à l'équilibre statique ou dynamique de deux corps qui se touchent)

ERRATA